Sudoku-Symmetrien

Die schnellste und auch schönste Lösung stammt von Wichtel42.

Anscheinend möchte der Weihnachtsmann nicht wahrhaben, dass es besser wäre, mehr als vier Wochen für die nötigen Weihnachtsvorbereitungen einzuplanen. Bei seinem Haus angekommen, beobachtest du ihn durch das Fenster dabei, wie er nachdenklich vor einem Zettel sitzt und ab und an „knifflig, knifflig“ sagt. Vielleicht wird er sich erst um Weihnachten kümmern, wenn er sich von irgendeiner Frage lösen kann?! Na, das kann ja lange dauern! Du entschließt dich, ihm zu helfen. Es darf ja nicht sein, dass Weihnachten ins Wasser fällt, nur weil ein Rätsel zu schwierig für den Weihnachtsmann ist!

Du trittst durch die (wie immer geöffnete) Tür ein, gehst auf ihn zu und fragst vorsichtig: „He, du, Weihnachtsmann, ich weiß, du kriegst das hin. Aber kann ich dir vielleicht bei deinem Rätsel helfen? Es sieht interessant aus! Was ist zu tun?“ Der Weihnachtsmann grummelt ein bisschen. Dann zeigt er auf deinen Kopf und die Kiste hinter seinem Sessel. Du schaust hinein: lauter Zipelmützen schauen zurück. Stimmt, man darf nur mit Zipfelmütze auf dem Kopf mit dem Weihnachtsmann reden. Du setzt dir eine auf, zuppelst sie zurecht, wobei die Glocke am Bommel ein wenig läutet, und wiederholst deine Frage. Jetzt erhältst du deine Antwort:

„Ich habe hier so ein komplett unausgefülltes Sudoku. Einige der kleinen Quadrate sind grün, einige sind rot. Wenn man eine Sudokulösung eintragen würde, kann man die Ziffern in den grün markierten Feldern addieren und die Ziffern in den rot markierten Feldern davon abziehen. Dieses Ergebnis ist angeblich unabhängig von der Sudokulösung, aber das glaube ich nicht ganz“ Auf deinen skeptischen Blick hin fährt er fort: „Meine Frau hat mir das aufgetragen und meinte, wenn ich das Rätsel löse, kauft sie mir einen neuen Schlitten. Allerdings meint sie doch die ganze Zeit, unser alter würde noch gut funktionieren! Bestimmt hat das Rätsel gar keine Lösung, aber so ganz habe ich die Hoffnung noch nicht aufgegeben!“

Dein ungläubiges Kopfschütteln bringt das Glöckchen erneut zum Bimmeln. Das darf ja wohl nicht wahr sein, dass er das Weihnachtsfest vernachlässigt, um vielleicht an einen neuen Schlitten zu gelangen! Du wirfst einen Blick auf den Zettel

ein leeres Sudoku, in dem einige Kästchen farbig markiert sind

und kommst ins Grübeln. Hat ihm seine Frau tatsächlich eine unlösbare Aufgabe gestellt? Oder gibt es eine schöne Idee, mit der man das Ergebnis herausfinden kann?

Für die schnellste Antwort genügt es, festzustellen, dass verschiedene Ergebnisse möglich sind, oder die Zahl zu nennen, die sich immer ergibt. Für die schönste Antwort ist entweder ein schönes Gegenbeispiel darzubieten, das also aus zwei Sudokulösungen mit unterschiedlichem Ergebnis besteht, oder ein schöner Beweis ist zu finden, warum stets dieses eine Ergebnis herauskommt.

Lösung

Hier liegt der Phistomefel-Ring zugrunde. Von der verlinkten Seite habe ich die Fragestellung geklaut, eine Lösung findet sich dort ebenfalls. Die Differenz ist stets 0. Es gibt verschiedene Symmetrieüberlegungen, die helfen: vergleiche die erste, zweite, achte und neunte Spalte mit der dritten und siebten Zeile sowie der mittleren linken und der mittleren rechten 3x3-Box, oder vergleiche die vier Eck-3x3-Boxen mit der dritten und siebten Zeile sowie der dritten und siebten Spalte. Das Additionsergebnis ist jeweils gleich und doppelt gezählte Kästchen fallen passend weg. Wer Videos bevorzugt, der wird hier fündig.