Der neue Schlitten des Weihnachtsmannes, der bereits letzte Woche ankam, wurde mittlerweile technisch überprüft, sodass die Sicherheit des Weihnachtsmannes, der beteiligten Rentiere und der Geschenke auch bei hohen Geschwindigkeiten gewährleistet ist. Heute möchte der Weihnachtsmann einige Verzierungen anbringen. Der Geschenkeraum im hinteren Teils des Schlittens soll dafür mit quadratischen Glassteinen abgeschirmt werden. Die Glassteine sind rot, grün, orange und weiß. Es soll ein maximales \(m \times n\) Rechteck entstehen, wobei \(4 \mid m\) und \(4 \mid n\). Durch diese Teilbarkeit ergibt sich eine natürliche Weise, das Rechteck in \((4 \times 4)\)-Kästchen zu unterteilen. Für jedes solche Kästchen soll gelten, dass pro Zeile und pro Spalte jede der vier Farbe genau einmal vorkommt. Außerdem soll, wenn man alle \((4 \times 4)\)-Kästchen miteinander vergleicht, kein Kästchen durch irgendeine Symmetrie wiederholt vorkommen. Genauer bedeutet das, dass keine nicht-trivialen Drehungen, Spiegelungen, Farbpermutationen oder Kombinationen der drei genannten Symmetrien eines vorkommenden \((4 \times 4)\)-Kästchen auftreten sollen. Was sind \(m\) und \(n\), wenn das \((m \times n)\)-Rechteck möglichst quadratisch und \(m \leq n\) sein soll?
Ein Beispiel für ein mögliches \((4 \times 4)\)-Kästchen. Jede der vier Farben kommt genau einmal pro Zeile und pro Spalte vor.