In einer Werkstatt werden scheibenartige Tannenbaumanhänger hergestellt, für die auf regelmäßige Sterne weitere regelmäßige Sterne gemalt werden. Ein regelmäßiger Stern ist dabei ein solcher, der aus einem regelmäßigen Fünfeck hervorgeht, indem man jede von den Ecken des Fünfecks mit den zwei gegenüberliegenden Ecken verbindet, mit denen sie nicht im Fünfeck verbunden ist. Die inneren Sterne werden auf die gleiche Art in das regelmäßige Fünfeck gezeichnet, das sich in der Mitte des ersten Sterns bildet. Beim Konstruieren solcher Sterne ist einigen Wichteln aufgefallen, dass verschiedene Seiten in einem spannenden Verhältnis zueinander stehen. In einer Pause fragt dich einer der Wichtel, ob du ein solches Verhältnis ausrechnen könntest. Er skizziert dir einen Stern mit Stern wie aus der Werkstatt und sagt:
„Mich interessiert, wie groß eine äußere Zackenkante im Vergleich zu einer Seitenlänge des bei der Sternkonstruktion helfenden inneren Fünfecks ist. Danach kann ich mir bestimmt alle weiteren Verhältnisse alleine ausrechnen!“
Um ganz klar zu machen, um welches Verhältnis es geht, markiert er in der Skizze drei Punkte A, B und C. „Also, ich würde gerne \(\frac{AB}{BC}\) kennen!“
Du freust dich, wieder ein Rechenproblem lösen zu können und machst dich direkt an die Arbeit.
Die Skizze. Die Wichtel arbeiten natürlich wesentlich exakter, sodass bei ihnen tatsächlich regelmäßige Sterne entstehen und die Spitzen des inneren Sterns genau in den Winkeln des äußeren Sterns liegen.