0. Wer gerne abstrahiert, kann sich das Problem für eine allgemeine Höhe \(h\) und einen allgemeinen Radius \(r\) denken, und im zweiten zu untersuchenden Verhältnis 30 durch \(h\) sowie 20 durch \(r\) ersetzen.
1. Bestimme die Fläche eines einzelnen vorkommenden Dreiecks in Abhängigkeit von \(m\) und \(n\).
- Nutze die Definition des Sinus für rechtwinklige Dreiecke, um eine Länge einer Dreiecksseite zu bestimmen.
- Nutze den Satz des Pythagoras, indem du dein Wissen über eine gewisse Höhe ausnutzt, um eine Dreieckshöhe zu bestimmen. Um die dafür noch fehlende Seitenlänge zu bestimmen, nutze die Definition des Kosinus für rechtwinklige Dreiecke.
2. Bestimme die gesamte Fläche eines Stiefelschafts in Abhängigkeit von \(m\) und \(n\).
Zähle die Anzahl Dreiecke und nutze Schritt 1.
3. Untersuche das Grenzwertverhalten der Schaftfläche für \(n \to \infty\) mit den gegebenen Verhältnissen für \(m\).
Es empfiehlt sich, die Flächenformel in eine Form zu bringen, in der ein Faktor ausschließlich von \(n\) abhängt und im anderen einige Kürzungen ausgespielt werden können.
Noch ein Tipp
Nutze Taylorapproximation für Sinus und Kosinus, also \(\sin(x)=x\) und \(\cos(x)= 1- \frac{x^2}{2}\) für kleine \(x\). Bestimme nun Grenzwerte einiger Faktoren für die gegebenen Verhältnisse und schließe damit auf das gesamte Grenzwertverhalten.