In voller weihnachtlicher Stimmung beginnen die Wichtel langsam mit ihrer Arbeit. Es läuft fröhliche Weihnachtsmusik, auch wenn der Weihnachtsmann es gar nicht mag, englische Gesänge über sich zu hören. Dich beschleicht das Gefühl, dass dies vielleicht sogar ein Grund ist, warum ständig so viele Weihnachtslieder zu hören sind.
Für einige Wichtel geht es an die Aufgabe, Geschenke herzustellen und einzupacken. Auch wenn der Weihnachtsmann bisher nicht viel für die Bescherung getan hat: Viele Kinder haben ihre Wunschzettel schon zum Nordpol geschickt!
Du beobachtest folgendes Geschehen: in einer Geschenkewerkstatt trudeln nach und nach die Wichtel Anja, Ben, Colin, Daniel und komischerweise noch ein Daniel ein. Doch es scheint so, als würde nicht ganz so produktiv gearbeitet werden, wie es der Plan an der Werkstatttür vorsieht, denn merkwürdigerweise tanzen einige der Wichtel! Du entschließt dich, Frederik, der gerade die Werkstatt betreten will, zu befragen, was genau vor sich geht. Er erklärt dir:
„Also, wir haben nicht so viel Lust auf die Arbeit, schließlich werden wir dafür nicht bezahlt und bekommen nur Schokolade zur Versorgung. Daher entscheiden wir bei Betreten der Werkstatt, ob wir uns zu einem anderen Wichtel gesellen und tanzen wollen oder ob wir doch arbeiten. Dabei ist uns jeder bereits anwesende Wichtel, egal ob arbeitend oder tanzend, gleich lieb und auch die Arbeit ist uns genauso lieb wie ein einzelner Wichtel. Ein neuer Wichtel entscheidet sich demnach rein zufällig zwischen all den Möglichkeiten, die sich ihm bieten. Je später ein Wichtel dazukommt, desto unwahrscheinlicher ist es also, dass er sich für die Arbeit entscheidet. Immerhin lassen sich arbeitende Wichtel von tanzenden Wichteln nicht beirren, sondern arbeiten einfach weiter, aber die tanzenden Wichtel tanzen den ganzen Tag! Unsere Playlists haben nämlich die Eigenschaft, dass sie auf genau einen Wichtel konzentrationsfördernd wirken, bei allen anderen aber eine große Tanzlust hervorrufen.“
Etwas erschüttert von dieser Erklärung bedankst du dich bei Frederik und lässt ihn in die Werkstatt gehen. Du beobachtest, wie er die sechs Optionen, bei den anwesenden Wichteln zu tanzen oder an seinem Platz zu arbeiten, gleichermaßen abwägt.
Im Laufe des Tages stoßen noch sieben weitere Wichtel dazu, die merkwürdigerweise Mützen ohne den so wichtigen Bommel tragen. Und irgendwie stehen ihre Hüte sehr stark nach oben... Du zuckst mit den Schultern, es wird schon alles seine Richtigkeit haben. Du beobachtest den restlichen Tag über, dass jeder Wichtel, der arbeitet, genau ein Geschenk herstellen konnte, egal, wann er mit der Arbeit begann oder wie viele Wichtel neben ihm tanzten. Anscheinend lassen sie sich also nicht ablenken, sobald sie arbeiteten, aber mehr als ein Geschenk pro Tag wird auch kein Wichtel herstellen, denn die Wichtel machen ungern mehr als der Plan vorschreibt.
Nun fragst du dich, wie viele Geschenke bei dieser Arbeitsmoral pro Tag durchschnittlich hergestellt werden (auf ganze Geschenke abgerundet) und wie wahrscheinlich es ist, dass an einem Tag nur ein einziges Geschenk fertig wird. Wenn die Bescherung auf dem Spiel steht, musst du schließlich den Weihnachtsmann informieren!
Eine schnelle Lösung nennt die zwei gesuchten Zahlen, eine schöne Lösung gibt auch den Lösungsweg an.
Zur Modellierung: Der \(i\)-te Wichtel arbeitet mit einer Wahrscheinlichkeit von \(\frac{1}{i}\). Durchschnittlich werden somit \(\lfloor \sum_{i=1}^{13} \frac{1}{i} \rfloor = 3\) Geschenke pro Tag hergestellt (Erwartungswert). Da der zuerst ankommende Wichtel stets arbeitet, ist für die zweite Frage die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass alle anderen nicht arbeiten. Dies passiert mit Wahrscheinlichkeit \(\prod_{i=2}^{13} \frac{i-1}{i} = \frac{1}{13},\) da sich im Produkt viel kürzen lässt.