Die schnellste und schönste Lösung stammt von Niemandem.
Entsetzt hast du festgestellt, dass mit dem bisherigen Arbeitstempo pro Geschenkewerkstatt nur ungefähr drei Geschenke pro Tag gefertigt werden! Ein Ansporn muss her. Da du Frederiks Beschwerde über die Qualität der Verpflegung ernst nehmen möchtest, stellst du einen Plan auf:
In Zukunft sollte jeder Wichtel pro vollständigem Arbeitstag vier Äpfel erhalten, die beliebig klein zerschnitten werden können, um anteilige Arbeitstage zu entlohnen. So wirklich viel Arbeitsschutz gibt es hier bisher nicht, daher machst du dir keine großen Gedanken über die moralische Rechtfertigbarkeit dieser Idee.
Um dem Bewegungsdrang der an der Arbeit Beteiligten gerecht zu werden, soll es auch ein neues Geschenkeherstellungssystem geben, anstatt dass jeder an einem Tisch alleine an einem Geschenk arbeitet. Für jedes Geschenk sollen sich zukünftig so viele Wichtel zusammenfinden wie das Geschenk Teile hat und die anfangs erhaltenen Einzelteile eines Geschenks (jeder daran arbeitende Wichtel erhält genau ein Teil) passend zusammenstecken. Dafür laufen alle Wichtel frei durch die Werkstatt. Sind \(n\) Wichtel anwesend, so dauert es \(\frac{1}{10(n+5)(n-1)}\) Tage, bis sich zwei Wichtel treffen, deren Teile aneinanderpassen. Es können sich nie zwei Wichtelpaare mit passenden Teilen gleichzeitig finden, doch sobald zwei passende Teile gefunden wurden, werden diese direkt aneinandergefügt.
Der hungrigere von beiden Wichteln macht sich in diesem Fall sofort zum Weihnachtsmann auf, empfängt seinen Lohn und kehrt erst zur Arbeit zurück, wenn das übernächste Geschenk hergestellt werden soll. Der andere Wichtel sucht währenddessen weiter nach einem Wichtel mit einem Teil, das zum nun größeren Geschenkstück passt. Die weiterhin anwesenden Wichtel (es sind \(n-1\) viele) verfahren jetzt analog zum vorigen Fall, nur mit einem Wichtel weniger. Erst mit dem Zusammenfinden der letzten zwei Teile, was ausgehend vom vorletzten Schritt also \(\frac{1}{70}\) Tage benötigt, endet das Gewusel und alle beteiligten Wichtel machen eine Pause.
Mit dem neuen Plan sollte es möglich sein, mehr als 3 Geschenke pro Tag herzustellen. Doch wie viele Geschenke genau können damit mindestens pro Tag fertiggestellt werden, wenn verschiedene Wichtel rund um die Uhr im Schichtdienst arbeiten? Und welche Apfelmengen kämen für besonders vielteilige Geschenke auf den Weihnachtsmann zu?
Eine schnelle Lösung nennt die sichere Mindestanzahl an herstellbaren Geschenken pro Tag (unabhängig von der Teilanzahl!) und wie viele Äpfel der Weihnachtsmann für besonders vielteilige Geschenke mindestens bereithalten sollte (es interessiert also der nötige Apfellohn, wenn die Anzahl Teile gegen Unendlich strebt). Eine schöne Lösung begründet die Ergebnisse und nimmt Stellung zur Umsetzbarkeit dieses Arbeitsplans.
Dieses Mal arbeiten alle Wichtel des gesamten Weihnachtsdorfes zusammen. Die Anzahl Wichtel ist unbegrenzt (in irgendeiner Lücke findet sich immer noch einer). Es wird immer nur ein Geschenk gleichzeitig gefertigt und mit Vervollständigung des vorigen wird sofort das nächste begonnen. Die Geschenke können unterschiedlich viele Teile haben, es arbeiten aber pro Geschenk nur so viele Wichtel mit, wie das jeweilige Teile hat.
Ein Geschenk aus \(t\) Teilen benötigt zur Herstellung \(\sum_{n=2}^{t}\frac{1}{10(n+5)(n-1)}\) Tage und kostet den Weihnachtsmann \(4\sum_{n=2}^{t}\frac{n}{10(n+5)(n-1)}\) Äpfel. Da dies in \(t\) monoton wachsend ist, genügt es für die Lösung unabhängig von der Teilanzahl, den Grenzwert \(t \to \infty\) zu betrachten. Es ergibt sich durch anstrengende Erweiterungen \(\lim_{t\to\infty} \sum_{n=2}^{t}\frac{1}{10(n+5)(n-1)} = \frac{49}{1200}\), also können mindestens 24 Geschenke pro Tag hergestellt werden. Allerdings ist \(\lim_{t\to\infty} 4\sum_{n=2}^{t}\frac{n}{10(n+5)(n-1)} = \infty,\) also gibt es keine Schranke für den Lohn.