Die schnellste Lösung stammt von elephant noël, die schönste vom Zwölf-Elf.
Die Wichtel sind beeindruckt von dir, wie schnell du die Anzahl aller Eulerwege im neuen Nikolaushaus finden konntest. Einige sind noch immer erstaunt von der Größe der Zahl: Bis die Wichtel alle möglichen Häuser gezeichnet haben, ist das Wochenende bestimmt vorüber! Einige Wichtel nicken dir anerkennend zu oder klopfen dir auf die Schulter. Ein kleines Grüppchen tuschelt allerdings miteinander, bis dich auf einmal Wichtel Christel aus dieser Gruppe fragt, was deine Lieblingsschokolade sei. Wahrheitsgemäß antwortest du, das wäre Zartbitterschokolade [ersetze ansonsten ab hier „Zartbitter“ durch deine Lieblingsschokoladensorte]. Die Wichtel wollen dir als Dank einen Schokoladenbonbon geben, aber erneut wirst du wohl etwas Rätselgeschick beweisen müssen:
Von den 24 Schokoladenbonbons, die die Wichtel der Runde zusammensammeln konnten, bestehen nur zwölf aus Zartbitterschokolade. Die anderen zwölf Bonbons sind vielerlei andere Sorten, die dir nicht so sehr schmecken. Die 24 Schokobonbons sollst du nun in einem ersten Schritt in zwei von außen gleich aussehende Säckchen aufteilen (es müssen sich nicht 12 Bonbons in jedem Beutel befinden). Du darfst also für jeden Bonbon einzeln entscheiden, in welchem von zwei Wichtelbeuteln er landen soll.
Danach werden die Wichtel mit den Beuteln durch die Gegend wuseln, bis du nicht mehr weißt, welcher der beiden welcher war. Daraufhin sollst du einen von den zwei Beuteln auswählen, aber durch das Gewusel ist das Ergebnis dieser Entscheidung eh rein zufällig. Ohne hineinzuschauen darfst du dann einen Schokobonbon aus dem Säckchen ziehen (durch das Gewusel wird der Beutelinhalt gut gemischt sein, sodass auch diese Wahl rein zufällg ist).
Du hoffst natürlich auf einen Zartbitterschokobonbon, doch wie kannst du die Wahrscheinlichkeit maximieren, in diesem Prozess einen solchen zu ziehen?
Eine schnelle Lösung nennt die zu wählende optimale Strategie beim Aufteilen der Bonbons und die Wahrscheinlichkeit, mit dieser Strategie Zartbitterschokolade zu erhalten. Eine schöne Lösung beweist zusätzlich die Optimalität dieser Aufteilung.
Du solltest einen einzelnen Zartbitterbonbon in einen Sack und die 23 weiteren Bonbons in den anderen Beutel legen. Die folgende Lösung ist größtenteils vom Zwölf-Elf abgeschrieben.
Sind \(z_1,n_1,z_2,n_2\) die Anzahlen der Zartbitter-Bonbons und Nicht-Zartbitter-Bonbons in Säcken 1 und 2, so ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{2}( \frac{z_1}{z_1+n_1} + \frac{z_2}{z_2+n_2}),\) wobei 0/0 als 0 interpretiert werden muss.
Es gibt eine optimale Konfiguration, weil es nur endlich viele Möglichkeiten gibt. Betrachtet man eine solche, kann man annehmen, dass \(z_1+n_1 \leq z_2 + n_2\) (sonst tausche man die Beutel).
Könnte man ein Nicht-Zartbitter-Bonbon aus Sack 1 mit einem Zartbitter-Bonbon aus Sack 2 tauschen (was genau dann möglich ist, wenn \(n_1 \geq 1\) und \(z_2 \geq 1\)), würde sich die Wahrscheinlichkeit erhöhen, denn mit der o.E.-Annahme gilt: \[\frac{z_1}{z_1+n_1} + \frac{z_2}{z_2+n_2} \leq \frac{z_1+1}{z_1+n_1} + \frac{z_2-1}{z_2+n_2}.\] Also ist \(n_1 = 0\) oder \(z_2 = 0\). Im zweiten Fall müsste wegen \(z_1 + n_1 \leq z_2 + n_2\), also \(12 + n_1 \leq 0 +n_2 \leq 12\), ebenfalls \(n_1 = 0\) sein.
Wäre \(z_1 > 1\), so wäre \(\frac{z_1}{z_1} + \frac{z_2}{z_2+n_2} \leq \frac{z_1-1}{z_1-1} + \frac{z_2+1}{z_2+1+n_2}\), die Wahrscheinlichkeit also nicht maximal. Außerdem wäre für \(z_0=0\): \[\frac{1}{2}(0 + \frac{12}{12+12}) = \frac{1}{4} \lt \frac{1}{2} \lt \frac{1}{2}(1 + \frac{11}{11+12}),\] daher muss die behauptete Aufteilung mit \(z_1=1\) optimal sein.